●本授業の目的およびねらい
複素関数は、自然科学の様々な箇所に現れ、基本的役割を果たすと共に幅広い応用を
持っている。特に、その微分積分学は、実数のそれと全く異なった美しく統一的な世界
を形作っている。本科目はこうした複素関数の微分積分学の基礎、特に複素解析関数の
基本的性質を学び、応用上重要な、その様々な取り扱いに習熟することを目的とする。
特に、ベキ級数および複素積分の取り扱いを重視する。
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●履修条件あるいは関連する科目等
微分積分学Ｉ、微分積分学ＩＩの内容を既知とする。
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●授業内容
以下の授業内容は標準的に教えられるものであり、講義の順序を示すものではない。
また、クラスによっては、さらに進んだ内容が教えられる場合もある。
１ 複素数平面：複素数の幾何学的表示を理解し、基本的な演算に習熟する。
（キーワード）絶対値、偏角と主値、オイラーの公式、１のｎ乗根
２ 複素関数の正則性：正則性の定義とコーシー・リーマンの定理を学ぶ。
（キーワード）コーシー・リーマンの定理
３ 初等関数と逆関数：指数関数などの初等関数の正則性や基本性質を学び、逆関数
の正則性、多価性について理解する。
（キーワード）初等関数、逆関数の正則性、多価性と分枝
４ 複素線積分とコーシーの積分定理：複素線積分を学び、コーシーの積分定理をグ
リーンの定理を用いて理解する。さらに、定理の応用を学ぶ。
（キーワード）複素線積分、コーシーの定理、コーシーの積分定理、実積分への応用
５ ベキ級数展開：ベキ級数の正則性と、正則関数のベキ級数展開と解析接続を学ぶ。
（キーワード）ベキ級数の収束半径、正則関数のベキ級数展開、零点の位数
６ 留数定理とその応用：孤立特異点における留数と、複素線積分の計算の代数化や
実積分への応用を学ぶ。また、孤立特異点にのまわりにおけるローラン展開と特異
点の分類にも触れる。
（キーワード）孤立特異点、ローラン展開、留数定理と応用
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●成績評価の方法
中間・期末試験の結果にレポートの成績を加味して評価する。
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●教科書
「複素解析学概説」藤本淳夫著、培風館
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●参考書
「複素解析」Ｌ・Ｖ・アールフォルス著 笠原乾吉訳、現代数学社
「すぐわかる複素解析」石村園子著、東京図書
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●注意事項
授業時間が限られているので、自宅での予習・復習・演習が不可欠である。
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