●本授業の目的およびねらい
複素関数は、自然科学の様々な箇所に現れ、基本的役割を果たすと共に幅広い応用を 持っている。特に、その微分積分学は、実数のそれと全く異なった美しく統一的な世界 を形作っている。本科目はこうした複素関数の微分積分学の基礎、特に複素解析関数の 基本的性質を学び、応用上重要な、その様々な取り扱いに習熟することを目的とする。 特に、ベキ級数および複素積分の取り扱いを重視する。
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●履修条件あるいは関連する科目等
微分積分学I、微分積分学IIの内容を既知とする。
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●授業内容
以下の授業内容は標準的に教えられるものであり、講義の順序を示すものではない。 また、クラスによっては、さらに進んだ内容が教えられる場合もある。
1 複素数平面:複素数の幾何学的表示を理解し、基本的な演算に習熟する。 (キーワード)絶対値、偏角と主値、オイラーの公式、1のn乗根 2 複素関数の正則性:正則性の定義とコーシー・リーマンの定理を学ぶ。 (キーワード)コーシー・リーマンの定理 3 初等関数と逆関数:指数関数などの初等関数の正則性や基本性質を学び、逆関数 の正則性、多価性について理解する。 (キーワード)初等関数、逆関数の正則性、多価性と分枝 4 複素線積分とコーシーの積分定理:複素線積分を学び、コーシーの積分定理をグ リーンの定理を用いて理解する。さらに、定理の応用を学ぶ。 (キーワード)複素線積分、コーシーの定理、コーシーの積分定理、実積分への応用 5 ベキ級数展開:ベキ級数の正則性と、正則関数のベキ級数展開と解析接続を学ぶ。 (キーワード)ベキ級数の収束半径、正則関数のベキ級数展開、零点の位数 6 留数定理とその応用:孤立特異点における留数と、複素線積分の計算の代数化や 実積分への応用を学ぶ。また、孤立特異点にのまわりにおけるローラン展開と特異 点の分類にも触れる。 (キーワード)孤立特異点、ローラン展開、留数定理と応用
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●成績評価の方法
筆記試験(中間・期末)の成績に、講義中のクイズ、レポートの成績を加味して評価する 。
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●教科書
山本直樹「複素関数論の基礎」裳華房
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●参考書
講義中に指示する。
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●注意事項
授業時間が限られているので、自宅での予習・復習が不可欠である。 レポートは定められた書式に従って、定められた時刻までに提出すること。
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●本授業に関する参照Webページ
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●担当者からの言葉(Webページのみ表示)
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