複素関数は、自然科学の様々な箇所に現れ、基本的役割を果たすと共に幅広い応用を　

持っている。特に、その微分積分学は、実数のそれと全く異なった美しく統一的な世界　

を形作っている。本科目はこうした複素関数の微分積分学の基礎、特に複素解析関数（　

正則関数ともよばれる）の基本的性質を学び、応用上重要な、その様々な取り扱いに習　

熟することを目的とする。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

特に、ベキ級数および複素積分の取り扱いを重視する。　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

微分積分学Ｉ、微分積分学ＩＩの内容を既知とする。　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

以下の授業内容は標準的に教えられるものであり、講義の順序を示すものではない。　　

また、クラスによっては、さらに進んだ内容や自然科学への応用例などが教えられる場合

もある。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

１　複素数平面：複素数の幾何学的表示を理解し、基本的な演算に習熟する。　　　　　

（キーワード）絶対値、偏角と主値、オイラーの公式、１のｎ乗根　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

２　複素関数の正則性：正則性の定義とコーシー・リーマンの定理を学ぶ。　　　　　　

（キーワード）コーシー・リーマンの定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

３　初等関数と逆関数：指数関数などの初等関数の正則性や基本性質を学び、逆関数の　

正則性、多価性について理解する。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（キーワード）初等関数、逆関数の正則性、多価性と分枝　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

４　複素線積分とコーシーの積分定理：複素線積分を学び、コーシーの定理を理解する。

さらに、定理の応用を学ぶ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（キーワード）複素線積分、コーシーの定理、コーシーの積分公式　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

５　ベキ級数展開：ベキ級数の正則性と、正則関数のベキ級数展開と解析接続を学ぶ。　

（キーワード）ベキ級数の収束半径、正則関数のベキ級数展開　　　　　　　　　　　　

（発展的内容）零点の位数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

６　留数定理とその応用：孤立特異点における留数と、複素線積分の計算や実積分への応

用を学ぶ。また、孤立特異点のまわりにおけるローラン展開と特異点の分類にも触れる。

（キーワード）孤立特異点、ローラン展開、留数定理、実積分への応用　　　　　　　　

中間・期末試験の結果にレポートの成績を加味して評価。　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

「初歩からの複素解析」香田温人・小野公輔共著、学術図書出版社　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

講義中に指示する。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

授業時間が限られているので、自宅での予習・復習・演習が不可欠である。