●本授業の目的およびねらい
定量的変化を記述・分析する数学の分野が解析学であり、その中心的方法は微分積分学です。それは自然科学において必須の研究手法ですが、さらに近年では社会科学などにも広く応用されています。本科目は通年講義の前半として、1変数微分積分学の基本を理解することを目的とします。特に極限の本質を理解し、対数関数・三角関数など初等関数の自由な解析的扱いができるようになることを重視します。
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●履修条件あるいは関連する科目等
高校数学の内容を既知とします.微分積分学IIとあわせて完結した講義となります.
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●授業内容
以下の授業内容は標準的に教えられるものであり,講義の順序を示すものではない.また,クラスによっては,さらに進んだ内容が教えられる場合もある.実際の講義予定は別に提示する.
1.数列・関数の極限と連続性 数列・関数の極限に関する基本的事項と連続関数の基本性質を学ぶ. (キーワード)数列・関数の極限,有界単調数列の収束定理,連続関数の基本性質とその応用 (発展的内容)実数の連続性・完備性,区間縮小法,収束・発散の速さの評価,ε-N論法,ε-δ論法
2.一変数関数の微分法 微分の基本的性質およびその解析・幾何・物理的な意味について理解する.さらに,微分法を用いて関数の様々な性質について調べられるようにする. (キーワード)微分の定義と幾何的意味,導関数と基本公式,初等関数の逆関数とその導関数,平均値の定理,高階導関数,テイラーの定理,不定形の極限 (発展的内容)接線,平均値の定理の応用,極値問題,近似計算と誤差の評価,漸近展開,(無限次)テイラー展開,べき級数の収束半径,凸性
3.一変数関数の積分法 リーマン積分を通して定積分を理解する.さらに,広義積分について学習する. (キーワード)区分求積法,定積分,不定積分,微積分学の基本定理,広義積分 (発展的内容)種々の関数の積分法,部分分数展開,連続関数の積分可能性,曲線の長さ,広義積分の収束発散の判定,ガンマ関数,ベータ関数,直交多項式
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●成績評価の方法
主に中間試験・期末試験の成績により評価する.講義時間内に行う演習等の成績も考慮する. 履修取り下げ制度を採用する.詳細については初回の講義で説明する.
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●教科書
南 和彦著,微分積分講義,裳華房
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●参考書
杉浦光夫著,解析入門I・II,東京大学出版会 高木貞治著,解析概論,岩波書店
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●注意事項
授業時間が限られているので、自宅で講義を復習することや演習問題を自発的に解くことが不可欠です.そのために、講義に出席して必ずノートをとることを強く望みます.
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●本授業に関する参照Webページ
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●担当者からの言葉(Webページのみ表示)
教える範囲が決まり難易度も整えられている高校までの数学と異なり、大学で学ぶ数学はより厳密で抽象的な理論になります。また将来必要となる高度な内容も含んでおり、初めは難しく感じたり戸惑ったりするかも知れません。しかし難解なもの、不明瞭なものにこそ勉強すべき題材が含まれているのです.その意味で、難しいからといって勉強を容易に諦めるのではなく、考えて考えて考え抜くという態度を身につけて、是非数学の本当の面白さや大切さを見つけ出してください.
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